高级微观总结：从支出函数到效用函数

这学期在学高级微观经济学，学了如何由效用函数出发得到支出函数，但一直不会反过来计算。直到期末考试复习的时候看到了如何由成本函数推导生产函数。

从成本函数到生产函数

假设有生产函数 $f(\mathbf{x}),\mathbf{x}\in \mathbb{R}^n_+$,要素价格是 $\mathbf{w}\in \mathbb{R}^n_+, \mathbb{w}\gg 0$, 要求成本函数 $C(\mathbf{w}, y)$, 是如下求解

$$\max C(\mathbf{w}, y)=\mathbf{w}' \mathbf{x}\\ s.t. \quad f(\mathbf{x}) \geq y$$

反过来，假设我们已经有成本函数 $C(\mathbf{w}, y)$ 了，要求生产函数 $f(\mathbf{x})$, 按如下步骤进行：

$$f(\mathbf{x}) \equiv \max \{q \geq 0 \mid \mathbf{w} \cdot \mathbf{x} \geq c(\mathbf{w}, q), \forall \mathbf{w} \gg 0\}$$

1. 计算生产可行性集合 PPS,

   $$\mathbf{Y}_{\mathbf{w}, \mathbf{x}} \equiv\{q: c(\mathbf{w}, q) \leq \mathbf{w} \cdot \mathbf{x}\}$$

2. 计算所有生产可能性集合的交集（关于价格 $\mathrm{w}$ 取交集）

$$\mathbf{Y}_{\mathbf{x}} \equiv \bigcap_{\mathbf{w}} \mathbf{Y}_{\mathbf{w}, \mathbf{x}}$$

3. 找到其中最大的元素

   $$f(\mathbf{x})=q=\max \mathbf{Y}_{\mathbf{x}}$$

这样我们就从成本函数推导出了生产函数。

从支出函数到效用函数

从效用函数到支出函数很容易，从支出函数 $e(\mathbf{p},u)$ 到效用函数 $u(\mathbf{x})$ 的过程就和上述过程差不多，具体如下

$$u({\bf x})\equiv \max \{v\geq 0| {\bf p}'{\bf x} \geq e(\mathbf{p},v)\}$$

1. 计算可行的集合

$${\bf U_{p,x}}=\{v|{\bf p 'x} \geq e(\mathbf{p},v) \}$$

2. 计算所有可能性集合的交集 （关于价格 $\mathbf{p}$ 取交集）

   $${\bf U_x}=\bigcap_{\mathbf{p}} {\bf U_{p,x}}$$

3. 找到其中最大的元素

   $$u(\mathbf{x})=\max {\bf U_x}$$

例子

例子来源于 JR 5.16, 题目如下：

$$e(\mathbf{p}, u)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{3}\left(p_{1}+p_{2}\right) u & \text { for } p_{2} / 2<p_{1}<2 p_{2} \\ u p_{2} & \text { for } p_{1} \geq 2 p_{2} \\ u p_{1} & \text { for } p_{1} \leq p_{2} / 2 \end{array}\right.$$

这里的支出函数是分段的，就很不好看出效用函数。我们按照上面的方法，再进行分类讨论。

1. $p_{2} / 2<p_{1}<2 p_{2}$ 时，我们有

$$e(\mathbf{p}, u)=\frac{1}{3}(p_1+p_2)u \leq p_1x_1+p_2x_2.$$

也就是

$$u\leq \frac{3(p_1x_1+p_2x_2)}{p_1+p_2}$$

令 $t=p_1/p_2$, 则 $\frac12 \leq t \leq 2$, 从而

$$u\leq \frac{3(tx_1+x_2)}{t+1}=3x_1+\frac{3(x_2-x_1)}{t+1}, \quad \forall t \in [0.5,2]$$

• 当 $x_2-x_1>0$ 时，有

$$u \leq 3x_1+x_2-x_1=2x_1+x_2$$

• 当 $x_2-x_1<0$时，有

  $$u\leq 3x_1+2(x_2-x_1)=x_1+2x_2$$

  综合上述两种情况，有

  $$u\leq x_1+x_2+\min\{x_1,x_2\}$$

2. 当 $p_1>2p_2$ 时， 有

   $$up_2 \leq p_1x_1+p_2x_2$$

   也就是

   $$u \leq \frac{p_1}{p_2}x_1+x_2,\quad \forall \frac{p_1}{p_2}>2$$

   从而，对$\mathbf{p}$取交集下确界之后有

   $$u \leq 2x_1+x_2$$

3. 当 $p_1<p_2/2$ 时，有

   $$up_1\leq p_1x_1+p_2x_2$$

   从而

   $$u \leq x_1+\frac{p_2}{p_1}x_2,\quad \forall \frac{p_1}{p_2}<\frac12.$$

   因此，

   $$u\leq x_1+2x_2$$

综合1，2与3， 有

$$u \leq x_1+x_2+\min\{x_1, x_2\}.$$

再取最大值，有

$$u(\mathbf{x})=x_1+x_2+\min\{x_1, x_2\}=\max\{x_1,x_2\}+2\min\{x_1,x_2\}$$

聪明的你，是否学会了呢？